Кашель у ребенка

Больше двух недель у ребенка (10 мес.) кашель. В начале октября я заметила небольшой кашель, пошла к врачу. Она послушала, посмотрела горло, говорит легкие чистые, горло в порядке. Дала направление на прививку от гриппа. Я не собиралась ставить эту прививку. Меня убедили, что она обязательна. И она двухэтапная. Второй этап через месяц, в ноябре будет. Спустя неделю 15.10 после прививки кашель усилился. Без температуры, без насморка просто кашель. Помимо всего прочего мы были записаны на анализ крови на железо. 15.10 сдали анализы. И в связи с кашлем я вызвала этого доктора на дом, чтобы она снова его послушала. Она снова говорит легкие чистые, анализы хорошие. Говорит, что это связано с тем, что режутся зубы, (а у нас 4 уже вылезли, еще появляются,) слюни копятся, он не успевает их сглатывать, отсюда кашель.. 🤔 Выписала виферон свечи 150 тыс, и беродуал ингаляции. Все делаем, прошло 6 дней. Ребенок закашливается. На аллергию не думаю, у нас коты с самого рождения в доме. Кашель редкий, но пугающий. Здоровый ребёнок не будет как закашливаться. Я переживаю, что у нас доктор молодая и не опытная, как бы не пропустить чего. Подскажите что это может быть? И как справляться? И второй вопрос. У нас запланирована второй этап прививки от гриппа в начале ноября. Могу ли я от нее отказаться? Все 10 месяцев с рождения мы миновали все заболевания. Основные прививки мы ставим, не отказываемся. Но если возможно отказаться, я бы конечно лишний раз не ставила ничего.