Насморк кашель в 2 месяца

Здравствуйте! Моему Малышу 2 месяца, родился 06 марта. 05 мая старший ребенок заболел орви, был сильный кашель, насморк, все вылечили реглисамом, как обычно за пару дней, всегда без антибиотиков. Но видимо заразил младшего. 10 мая младший ребенок начал кашлять, сопливить. Сходили к врачу, назначили стодаль и капли в носик називин. 14 мая (сегодня) ходили на прием, кашель у малыша усилился, врач назначила антибиотик (назначение прикрепляю в виде фото), сказала, что легкие чистые, но такие маленькие малыши не умеют отхаркиваться и лучше принять антибиотик, поскольку слизи много. Малыш действительно плохо дышит, постоянно хрюкает, кашель не дает ему спать, особенно после еды и после капелек в нос. Подскажите, пожалуйста, оправдано ли назначение антибиотика? И как восстановить после них жкт лучше всего? У нас только -только колики закончились, наконец начали спать нормально, теперь этот кашель и антибиотики ((