У ребенка 5 лет кашель, врачи в поликлинике поставили кашлевую астму, хотела бы услышать еще мнения.

Ребенок 5 лет заболел 2 недели назад. Сначала болело горло, немного был заложен нос, температуры не было, потом все переросло в кашель, который тянется до сих пор, кашляет и днем, и ночью. При кашле до сих пор отхаркивает что-то зеленое и густое, мне кажется это из бронхов. За время болезни у врачей были через день, слушались, делали рентген - чисто, кровь чистая, были повышены эозинофилы до 8, сейчас норма. Мазок на хламидии и микоплазму отрицательные. Вчера врач назначила антибиотик Клацид. Также уже 9й день дышим пульмикортом и капаем зиртек. Из лечения уже перебрали все, что можно - и амбробене стоптуссин, и беродуал, и ринофлуимуцин с полидексой - эффекта нет, кашель никуда не уходит, ребенок сильно закашливается. В итоге дошли до антибиотика, на нем пока улучшений не вижу, но может еще рано, даю 2й день. Вчера были у аллерголога. Она поставила под вопросом кашлевую астму. Дело в том, что у ребенка аллергия на собачку, которая живет с нами 1,5 года. Узнали об этом год назад, когда тоже кашляла долго после скарлатины. Иммуноглобулин Е год назад был почти 600, анализ на эпителий собаки был положительный. За этот год ребенок несколько раз болел, дважды принимали сингуляр из-за кашля по утрам. Но такого кашля, как сейчас, никогда не было. Сейчас стоит крацне болезненный вопрос, может ли собака той-пудель жить с нами или его нужно отдавать в другие руки.. Скажите, 1) какие анализы нам сдать, чтобы подтвердить или опровергнуть, что кашель сейчас именно от собаки? 2) правда ли, что собаку в нашем случае нужно убрать навсегда? 3) может ли ребенок со временем перерасти аллергию на собаку? 4) чем опасен такой кашель для ребенка? 5) если уберем собаку на полгода - это что-то решит или нет ? Спасибо!