Котенок 5 месяцев заболел 3-4 дня назад, сопли желтые, глаза закрыты третьим веком, в носу булькает, слабый, не пьет не ест, в туалет 2-3 раза в день по маленькому. Сегодня возили к вет врачу, сказала вирусное заболевание, назначили цефтриаксон 0,5 мг, сыворотка...

Добрый вечер!
По описаний Вами симптоматике у котика, действительно, вероятно присутсвует вирусная инфекция, но также нельзя исключать и бактриальное заболевание.
Для точно понимания характера заболевания необходимо сдать ПЦР исследования на респираторный профиль (хламидиоз, микоплазмоз, ринотрахеит, калицивирус).
Обильные гнойные выделения из носа и глаз чаще характеины для бактериальных инфекций (микоплазмоза и хламидиоза) , для их лечения необходима антибиотикотерапия, однако цефтриаксон не является препаратом выбора при данных патологиях. Наиболее эффективно применение Доксициклина (ветеринарный названия Докситрон или Соладокси, дозировка 10мг на 1кг веса питомца, 1 раз в сутки, можно делить на 2 приема).
Воспалительный процесс в ротовой полости может быть признаком вирусной инфекции (калицивирус или ринотрахеит) , при этом применяется противовирусная и иммуностимулирующая терапия (Фелиферон, Фоспренил) .
На данный момент важно обеспечить котику покой, если истечения из носовых пазух подсыхают и мешают дыханию - аккуратно удалять их ватным диском (не растирая), местно можно обработать раствором Мирамистина.
Если дома есть нестероидные противовоспалительные препараты (Мелоксикам - можно дать однократно 0,1 мг мелоксикама на 1 кг, лучше приобрести ветеринарный аналог, чтобы точно не ошибиться с дозировкой), но это крайняя мера, если Вы заметите явное ухудшения состояния.
Пока лучше ограничиться поддердивающей терапией и при первой возможности дообследовать питомца (сдать ПЦР исследования и общий клинический анализ крови, также по-возможности, исключить другие наиболее опасные вирусные инфекции: иммунодефицит, лейкемию кошек, коронавирусный гастроэнтерит).