Назначили антибиотик при гайморите, а анализ крови оказался без признаков бактериальной инфекции

Добрый день. Ребенок 5 лет заболел с высокой температурой 38,8, кашель - частично сухой, частично откашливающися, насморк. Наблюдаемся у аллерголога, поэтому в случае ОРВИ были даны рекомендации делать ингаляции с пульмикортом и беродуалом. Температуру после 38,5 снижала жаропонижающим. На второй день пришел педиатр из поликлиники, прослушал - легкие чистые, выписал противовирусные, ингаляции сказал продолжить, в нос снуп. На третий день в ночь температуры уже не было, и весь четвертый день прошел без температуры, но кашель ухудшился, стал частым и надсадным как при ларингите. Ингаляции не помогали. На пятый день пошли к лору в частную клинику. Температура была 37,5 с утра. Лор нас сразу направила на снимок носа, поставила диагноз "острый двусторонний гайморит" и тут же в клинике нам сделали антибиотик цефтриаксон. Всего нам назначили сделать дома 7 уколов цефтриаксона, флуифорт, синупрет, закапывать смесью метрогил + називин 6 раз в день, промывать долфином 12 раз в день, турунды с левомиколем 3 раза в день. На следующий день мы сдали кровь на дома, сегодня пришел результат - кровь с признаками вирусной инфекции, без бактериальной. Читая вопросы-ответы по гаймориту на этом сервисе я узнала, что в этом случае лечение антибиотиками не требуется. Вчера мы сделали дома ребенку второй укол цефтриаксона, укол очень болезненный, ребенок плакал, изворачивался, очень трудно было сделать. Правильно я понимаю, что он изначально не был нужен? Как мне теперь грамотно завершить его прием? Насколько я знаю, бросать антибиотики, не закончив курс плохо. Могу я заменить цефтриаксон на таблетки супракс солютаб (цефиксим) или может быть есть какие-то нюансы, и нужно все-таки доделать цефтриаксон? Промываем нос долфином, 12 раз в день не получается, но довольно часто. Выделения густые бело-прозрачные, но не зеленоватые или желтые. Остальное лечение помогает, не знаю только, что делать с антибиотиком.