Кот 6 лет, периодически стали появляться на подбородке черные точки, я их обрабатывала хлоргексидином и они проходили, но потом опять появлялись.
Сейчас опять появились и заметила, что прям над высыпанием на десне воспалился участок, и потемнел как будто, и тоже мелкие точки...

Здравствуйте. Чёрные точки на подбородке это, скорее всего, кошачье акне. Оно встречается у многих животных и связано с гиперактивностью сальных желёз. Иногда проходит само, но нередко возвращается, особенно при ослабленном иммунитете или стрессе.
Потемнение десны над зоной высыпаний, сопровождающееся воспалением, может указывать:либо на реактивный гингивит (воспаление дёсен),либо на более глубокое воспаление, связанное с микрофлорой из ротовой полости, в отдельных случаях на начало вирусной инфекции (герпесвирус, кальцивироз), особенно если были эпизоды насморка, чихания или вялости.Рекомендован очный прием ветеринарного специалиста, но если такой возможности нет вот что можно сделать сейчас, обработка подбородка:
Р-р водный Хлоргексидина 0,05% 1–2 раза в день, аккуратно, не втирая.Если даётся прикоснуться к десне регинокс дентал очень аккуратно, буквально на край воспалённого участка, 1 раз в день в течение 3–5 дней.Предлагайте мягкую еду паштеты, тёплое мясное пюре без соли и специй. Если ест неохотно можно слегка подогревать (до температуры тела), так запах будет сильнее и аппетит повысится.Если участок на десне увеличивается, появляется отёк, неприятный запах или язвочки.Если кот совсем отказывается от еды.Если замечаете вялость, чихание, слюнотечение. Постарайтесь при возможности всё-таки доставить его в клинику, даже один осмотр даст гораздо больше информации. Иногда помогает лёгкий курс успокоительных (например, экспресс успокаин, «Кот Баюн» или Фитомины), чтобы через день-два попробовать аккуратно посадить в переноску.