Кашель у ребенка 5 лет

У ребенка 5 лет поднялась температура до 37,7 и держалась 2 дня, на 2 день появился насморк и мокрый кашель, насморк вылечили за 3 дня, а кашель продолжается 1,5 месяца. 3 дня он был мокрый, а затем перешел в сухой и продолжается по настоящее время, кашляет утром минут через 20 после после пробуждения, несколько раз днем. Выпили уже 3 сиропа от кашля, натирали согревающей мазью целый месяц, ничего не помогает. А 3 дня назад у ребенка стали холодными руки, ноги и нос, хотя дома 24 градуса, когда ребенок потеет, у него все равно остаются холодными конечности. К врачу обращались во 2 день температуры, назначила согревающую мазь и сироп от кашля, хрипов не было. Ребенок к сад не ходит, все прививки сделаны. Почему не проходит так долго кашель, не может ли это быть воспаление легких? Ребенок чувствует себя хорошо.