Чуть больше года назад я начала жить с мужчиной, у которого есть семилетняя дочь. Родную мать девочка никогда не видела, поскольку воспитанием с младенчества занимались отец и бабушка. Когда мы стали жить вместе, мужчина заявил, что его мать умерла, и он единственный, кто...

Спасибо за дополнение.
Ситуация становится более ясной и, к сожалению, предсказуемой. Вы абсолютно правы в своих опасениях: он не собирается ничего менять, а его предложения- это способ оттянуть время и продолжать взваливать на Вас обязанности и ответственность за его дочь.
Я сейчас перечислю его манипуляции, чтобы у Вас было понимание его "поступков".
«Согласен с любым вашим решением, но...» -это классическая уловка. Он перекладывает всю ответственность на Вас («решение приняли Вы»). Но при этом он саботирует любое конкретное действие, которое требует от него усилий (обсуждение сроков, перевод ребёнка, поиск жилья).
Предложение «снять жильё»- это нереалистичный и отвлекающий момент. Он знает, что финансово это сложно. Его цель- создать видимость работы над проблемой, пока на самом деле проблема не решается. Это позволяет ему выглядеть заинтересованным, согласным.
Уход от конкретики- главный признак того, что он не заинтересован в изменениях. Ему выгодно текущее положение: ребёнок под присмотром, а ответственность на Вас.
Ваш вопрос: как расстаться, если он сам уходить не собирается? Ответ: Взять инициативу и контроль в свои руки, действуя чётко и последовательно. Он не уйдёт сам, потому что ему комфортно.
Прекратите обсуждать «варианты» и перейдите к объявлению решений. Вы же видите, что он мастер уводить разговор в сторону. Сейчас Вам нужно не спрашивать, а информировать. «Я приняла окончательное решение. Наши отношения завершены. Тебе и дочери нужно переехать к (указать четкий срок). Это необходимо для того, чтобы твоя дочь успела перевестись в новую школу к началу четверти».
Важно написать уведомление (например, в смс или мессенджере), это будет доказательством и фиксацией фактов и сроков.
Говорите с его дочерью сами, не через него. Объясните на её уровне: «Мы с твоим папой решили, что теперь ты будешь жить с ним. Это не потому, что я тебя не люблю. Мы всё организуем, чтобы тебе было удобно ходить в новую школу». Это лишит его возможности манипулировать через ребёнка.
Будьте готовы к его реакции (а она предсказуема):
-обещания и уговоры: «Давай ещё подумаем», «Вот найдём деньги», «Не торопись», ваш ответ: «Решение окончательное. Обсуждаем только детали переезда».
-гнев и обвинения: «Ты выгоняешь ребёнка!, ты эгоистка!», ваш ответ (спокойно): «Я заканчиваю отношения со взрослым мужчиной. Забота о жилье для своей дочери -это твоя обязанность, как отца. Я обозначила реалистичные сроки».
-игнорирование и пассивность (самое вероятное). Он будет делать вид, что ничего не происходит.
-будет подговаривать свою дочь, и она будет выдавать "его фразы", давя на ваше чувство вины и жалость.
Ваша сила в последовательности и отказе от эмоциональных дискуссий. Сейчас он тянет время, потому что это работает: Вы устаёте, сомневаетесь, отступаете. Как только Вы перестанете быть «переговорщиком» а начнете четко озвучивать условия, то его манипуляции потеряют силу.
Помните, Вы не выгоняете ребёнка, Вы возвращаете законному отцу ответственность за его ребёнка.
Мужчине очень повезло: он встретил добрую, порядочную женщину(Вас) и вместо того, чтобы быть ей благодарным, он манипулирует ею, вытягивая из нее ресурсы: силы, деньги, время, и перекладывая на нее всю ответственность.