Может ли быть гайморит?

Добрый день. Ребенку 9 мес. В начале ноября заболел насморком. Лечили. Все прошло где то через неделю. Но с тех пор начал немного подкашливать по утрам. За два месяца 4 раза обращались к педиатору. Лечение было в основном капли синупрет и ингаляции, самые разные. Так же,туалет носа. Позавчера закончили пить супракс. Пять дней. Педиатор подозревает, что кашель идёт все же из за носа. За это время лечили каплями изофра,сиалор,виброцил. В последнюю неделю кашель резко усилился. Вероятность новой инфекции близка к нулю. Т.к никуда вообще не ходим и все здоровы. Получается,ребенок болеет второй месяц. Аспиратором отсасывается немного слизи, густой, белого цвета. В основном,по утрам. В течение дня почти ничего нет. Нос немного хрюкает. Но только когда спит. Я уже готова предположить даже самые экзотические версии. Почему он не выздоравливает и ему только хуже. Возможен ли гайморит? Темература не повышалась ни разу. По анализу крови, можно его увидеть?