Антибиотик при вирусной инфекции

Здравствуйте скажите пожалуйста ребенок 2 года 3 месяца заболел остро 25.05 высокая температура до 39 гр., кашель, насморк, боли в горле. Сразу начали лечение ингаляции с пульмикортом 2 р в день, т к кашель был лающий как при ларингите, нос промывали, нурофен. Температура была 4 дня. Стало легче и через неделю от начала лечения заболело правое ухо. Показались лору сказал что остложнение от носа, туботит. В итоге заболело и левое ухо сказали лечить нос по такой схеме: отривин через 10 мин морская вода и затем синуэфрин. Так делали 5 дней уши прошли сразу врач осмотрел повторно 4.06 сказал что здоров. В субботу 7.06 появился опять кашель насморк. В воскресенье симптомы нарастали кашель сильный сухой до рвоты прям. В понедельник температура 38. Сегодня сдали кровь педиатр посмотрела легкие чистые сказала пить антибиотики не смотря на вирусную кровь. Выписала цефиксим на 5-7 дней. И коделак нео даем от сухого кашля по 15 капель 3 раза в день. Нос по той же схеме капаем. Сегодня ночью сильно кашлял от затекла по задней стенке и вырвало несколько раз. Но днем практически не кашляет и нос лучше и температуры нет, вопрос такой если смысл давать антибиотики? Врач говорит что надо не смотря на такой анализ крови т к это затяжное течение болезни, но ведь он выздоровел и несколько дней все было хорошо. Это же как повторно заболел ребенок, спасибо за ответ. Анализ крови могу прикрепить.