Контакт с больным котенком

Приехали с детьми к родителям,тут во дворе многоквартирного дома много бездомных кошек/котят,дети постоянно к ним лезут,берут на руки,гладят.Мне их тоже всех очень жалко и я их подкармливаю.6 дней назад сын нашел котенка,по виду больного-глазки слезились,один глаз косил немного,как мне показалось,и плюс в уголках глаз как кожица какая-то на пол глаза на обоих глазах,котенок сильно мяукал,мы решили,что он голодный,накормили его и напоили молоком-ел и пил охотно он,но когда пил молоко его немного знобило(правда молоко было холодным),после того как поел орать стал меньше,ну все равно иногда мяукал и бегал взад вперёд,вел себя немного беспокойно,то под машину прятался от детей,то выходил и начинал ласкаться-тереться у меня вокруг ног.Он нас не кусал и не царапал,хотя насчёт сына на 100 процентов не уверена,он мог и не заметить,если кот чуть-чуть царапнул.Но мы его гладили,сын брал на руки,он тёрся мордой вокруг голых ног,те теоретически слюна с мордочки могла попасть на ноги,но специально он нас не лизал.На следующий день купила капли Тобрекс и хотела покапать коту,но он так и не появился,что странно,ТК все другие коты появлялись,если их кормили.Еще через пару дней другой кот поцарапал дочку до крови и мы обращались в травмпункт,нам там сказали,что вакцинация показана,сегодня сделали дочке второй укол,и я на всякий случай спросила у врача,про первого кота,нужна ли вакцинация,если кот просто тёрся об ноги голые и он сказал,что нужно,я очень удивилась и теперь просто не знаю что делать,очень переживаю,действительно надо или это уже гипер перестраховка,и мог ли быть с такими симптомами котенок болен бешенством?