Температура у 5-ти месячного ребенка

Здравствуйте, ребенку 5 месяцев. Много слюней, все тянет в рот. Две недели назад заметили кашель. Решили померить температуру. Намерили 37,3. Испугались и сразу вызвали врача. Она послушала, посмотрела горло. Легкие чистые, горло не красное. Сказала, так режутся зубки. Закашливается он из-за слюней. Прописала охлаждающий гель для дёсен. А температура будто через 3 дня пройдет. Через день пошли к ней на прием. Потому что температура так и скачет от 36,3 до 37,3. В этот раз она увидела красное горло. Прописала капать на пустышку хлорофиллипт. Когда еще через день пошли на приём, кашля уже такого не было, но температура так и поднимается время от времени. Она опять послушала, посмотрела горло. Все в порядке. Слюни текут - Зубки режутся. Всё. Что с температурой делать? Не понятно. Больше мы на прием и не ходили. Прошла еще неделя. Ребенок ведёт себя точно также, как и всегда. Аппетит хороший, веселый, не капризный. Зубов так и нет. Слюней море. Так и будет пока не прорежутся первые зубы? А по поводу температуры. Я уже начиталась в интернете, что у малышей до года терморегуляция не совершенна. Всё зависит от окружающих факторов. И что, норма температуры в 4-6 месяцев – 36,3–37,5°С. Может у нас с самого начала всё было в порядке, а мы просто не правильно измеряли ему температуру? Потому что до первого кашля, мы этого особо и не делали. Для этого не было причин. Как тогда правильно измерять температуру малышу? И стоит ли перестать беспокоиться?