СОЭ 41 у ребенка, нужен ли антибиотик

Здравствуйте! Девочка, 5,5 лет. 2.06.25 начался конъюктивит, до этого пару дней подкашивала, но кашель стал сильнее, влажный. Обратились к педиатру и лору (есть аденоидит). Назначено: тобрекс и эритромиц.мазь в глаза, в нос - промывания, ринофлуимуцил и назонекс, в горло - тантум-верде; капли зодак. Темп. колебалась 37.0-38.0, с 8.06.25 - норма. 10.06.25 обратились к педиатру в надежде закрыть справку. Но на осмотре врач сказал, что горло не совсем спокойное. Сохраняется небольшой сухой кашель по утрам и в положении лёжа. Врачом был назначен антибиотик Суммамед... Я попросила назначить ОАК. Результаты ОАК от 10.06.25: Лейк-7.9, эрит-4.4, гематокрит-38, тромбоц-375, нейтроф-54.4, эозин-2, базоф-0.4, лимф-39.2, моноц-3.9, гемогл-125, ср.об.эрит-86, ср.конц.гем-33, шир.распр.эрит-12.8, ср.разм.тромб-10, тромбокрит-0.361, нейтроф. абс-4.32, лимф.абс-3.11, моноц.абс-0.31, эоз.абс-0.16, базоф.абс-0.03, СОЭ - 41. С-реактивный белок - 1.13. На основании данного анализа крови был назначен сегодня, 12.06.25., антибиотик Панцеф на 7 дней. Т.к. цитата - ооочень высокая СОЭ, такое лечат в больнице!. Дочь чувствует себя хорошо, жалоб нет. Скажите, пожалуйста, действительно ли нужен антибиотик?