Сухой нескончаемый кашель

Здравствуйте ребенку 8 лет. Папу дней назад по задней стенке стали идти сопли. Вчера начался сухой кашель, ребенок кашляет без остановки практически. Были у врача сказал трахеит. Легкие чистые, хрипов нет . Горло красное назначил. Ингаляции с пульмикортом и антибиотик аиоксиклав. Скажите верно ли назначено лечение и почему так сразу назначается антибиотик? Температура поднимается к вечеру до 37.3