Кашель больше месяца

Здравствуйте. С 01.12.23 сын (2,5 года) болеет. В начале около полторы недели были сопли. Потом соплей вроде стало поменьше, но появился кашель. Кашель продолжается до сих пор. Несколько раз закашливался до рвоты. Температуры явной все это время не было. Может быть иногда поднималась 37,5-37,8 но не постоянно. Температуру мерить не дает. Поэтому мерили как его величество это позволяло. В основном смотрим по самочувствию ребенка - все это время ведет себя как здоровый активный ребенок, но с кашлем. Несколько дней назад опять потекли сопли. Их лечим аквамарисом, називин, полидексой. Кашель чем только не лечили за это время - результатов нет. Из всего пройденного лечения кашля оставили: ингаляции физраствором с пульмикортом (1 мл/1мл) и без(2 мл физраствора), пластырь ДЫШИ на пижаму на ночь. Врач сегодня (как и предыдущие приемы) слушал - хрипов нет. Даем на ночь Зиртек. Прилагаю общий анализ крови. Чем лечить кашель? Не навредим ли ему пульмикортом? (До этого он ходил в садик и там днём спал. Дома днём он не спит все эти дни. Может это тоже как то сказывается…)