Нужен ли антибиотик ребенку?!?

Здравствуйте, уважаемые врачи!Сыну 2,9 с января болеет, все проходит дня на 4 и снова более, так третий раз. С самого начала лечим насморк - поставили аденоиды, подкашливал, но не сильно, температуры не было. С 27 февраля снова заболел - насморк с мутным, желтым отделяемым, кашель надрывный частый сухой, на мендалинах белые надеты. Сдали кровь (прикреплю), делали сами тест на стрептококк - отрицательный. В ночь со вчерашнего дня на сегодняшний - кашлял буквально каждую минуту, сильно очень.Сегодня педиатр послушал и отправил в больницу - дыхание жесткое, хрипы с двух сторон. Сделали рентген - сказали, что пневмонии нет. Сказали, что это бронхит и трахеит Выписали пульмикорт и антибиотик панцеф (сегодня дали уже 1 раз ребенку). К вечеру у ребенка поднялась температура 37,5 глаза и щеки красные. Подскажите пожалуйста нужен ли антибиотик - даю и сомневаюсь в своих действиях нужен ли антибиотик?!?Большое спасибо!