Затяжной кашель у ребенка 6 лет

Здравствуйте. Сыну 6 лет, рост 118 см, вес 18 кг. 3 недели назад заболел, 3 дня была невысокая температура 37,6, затем присоединился сухой кашель, лечили пульмикортом, т.к у него бывает ложный круп. Кашель стал влажным и кашлял изредка, педиатр слушала легкие, сказала, что можно в сад, кашель остаточный, неделю был в саду и вчера опять начался сухой кашель , сегодня присоединились сопли, так понимаю он заново заразился чем-то. Температуры нет. Вчера сдали анализ крови, насколько я понимаю анализ не вызывает опасений. Сегодня сходили опять к педиатру чтобы убедиться что легкие чистые, врач скзаала, что это инфекция верхних дыхательных путей и назначила ингаляции флуимуцилом антибиотик ИТ. Подскажите, есть смысл делать ингаляции с антибиотиком вначале болезни при идеальном анализе крови, либо это может быть осложнение после предыдущей болезни? Возможно лучше сдать посев, покажет ли посев из зева или носа, нужен ли антибиотик? Так же врач отметила, что у ребенка аденоиды, но ранне мы делали рентген и у ребенка были аденоиды 1 ст, так понимаю их лечить не надо?