Температура не проходит 6 дней

Ребенку 1 год и 1 месяц. 13.12.25 (пятница)вечером поднялась температура до 38. В субботу, воскресенье, понедельник и до утра вторника температура поднималась до 38,8 -38.6 и опускалась после приема жаропонижающего. Я давала поочереди парацетамол и Ибупрофен. Также был небольшой прозрачный насморк, промывала нос морской водой. С утра вторника температура стала подниматься реже и была не выше 38, поэтому жаропонижающее не давала. Появились густые сопли желто-серые, текли из носа и кашель, пропал аппетит. Педиатра пригласила на 5 день болезни (среда), когда кашель очень усилился ( иногда до рвоты). Врач прослушала в легких слабые хрипы, горло красное. Выписали антибиотик Амоксиклав (400мл/5мл) в дозе 2,5 мл 2 раза в день , пребиотик и ингаляции Беродуал (8кап) +физ. раствор (2мл). В этот же день приняли все лекарства, но ночью опять кашель и температура 38. Ребенок ранее так сильно не болел, заразился от старшей дочки, которая подхватила в саду ОРВИ и переболела им за 4 дня. Подскажите может ли так долго протекать ОРВИ у годовалого малыша? Целесообразно ли назначение антибиотика в этом случае? У малышки от него понос.