Длительный влажный кашель грудничка

Здравствуйте! Ребенок в 3 месяца заболел, насморк, горло. Температура была 37,2, плохой аппетит. Педиатр назначил ингаляции с лазолваном, Лизобакт, питье, промывание носа солевым раствором и Деринат в нос. Лечение продолжалось две недели. Насморк прошел, горло нет, остался влажный густой кашель и температура на уровне 37,2-37,4, плохой аппетит. Самочувствие и настроение ребенка хорошие. Анализ крови и мочи был нормальным. Педиатр сказала, что возможно это раннее начало прорезывания зубов. Прошла ещё неделя, кашель не ушел (по утрам сильный), педиатр сказала поделать ингаляции обычным физраствором и продолжать дренажный массаж, хрипов не возникало, как и ранее, спал ребенок хорошо, ел средненько. В конце недели температура выросла до 37,5. Стали делать ингаляции с беродуалом. На 3 день таких ингаляций ребенок просто захлебывался в мокроте, температура держалась на уровне 37,6. По истечении месяца назначили Амоксиклав, как и ранее обильное питье. Ингаляции отменили. Через 7 дней приема картина не изменилась, кашель и температура 37,6 остались. Назначили ингаляции с беродуалом поочередно с Пульмикортом, сироп проспан и капли Зиртек, ребенку было только 4 мес. Через 6 дней температура ушла, влажный кашель убавился значительно. Лечение прекратили. Однако на протяжении последующих двух недель влажный кашель все равно остался, больше всего утром и периодически в течение дня. Педиатр порекомендовала недельку поделать снова ингаляции с обычным физраствором. В итоге от них кашель стал ещё гуще, мокроты стало больше. Температуры нет, анализ крови нормальный. В результате после двух месяцев лечения кашель не проходит, лор сказал, что это кашель при прорезывании зубов. Однако я сомневаюсь и переживаю. Сейчас ребенку 5 месяцев. Все это время ставили диагноз острый трахеит. В связи с болезнью (кашель) и приемом антибиотика ребенок ослаб, прибавка в весе за 4 месяц упала до 500 гр, за 5 месяц до 350 гр. (была диарея, в результате которой потеряно 300 гр.). Родился ребенок доношенный, роды без осложнений, в первые два месяца набирал по 700 гр., на грудном вскармливании. Вопрос: нужно ли нам предпринимать что-то для устранения кашля, провести дополнительные обследования, рентген, взять мазки из ротоглотки и носа и какие? Или же просто наблюдать и ничего не делать? Так посоветовал лор, сказал само пройдет.